Construction d'un bassin

Problème adapté de la banque nationale de sujets : https://www.education.gouv.fr/reussir-au-lycee/bns

Un aménagement autoroutier prévoit la construction d'un bassin de rétention d'eau enterré, en forme de parallélépipède rectangle. Celui-ci est modélisé ci-dessous par le solide \(\text{ABCDSEFG}\). La surface au sol correspond à celle du rectangle ABCD.

Les contraintes techniques imposent un volume de \(360\,\mathrm{m}^3\) et une profondeur de \(2{,}5\,\mathrm{m}\). De plus, la longueur et la largeur de la surface au sol doivent être comprises entre \(4\,\mathrm{m}\) et \(36\,\mathrm{m}\).

1. Démontrer que l'aire de la surface du bassin au niveau du sol est fixe et égale à \(144\,\mathrm{m}^2\).
2. On nomme \(x\) la longueur en mètres du bassin avec \(x \in [4\,;36]\).
Justifier que le périmètre du bassin au niveau du sol est égal à \(p(x) = 2x + \dfrac{288}{x}\).
3. Calculer \(p'(x)\) pour tout nombre réel \(x\) de l'intervalle \([4\,;36]\).
4. Démontrer que, pour tout nombre réel \(x\) de l'intervalle \([4~;\,36]\), \(p'(x) = \dfrac{2(x-12)(x+12)}{x^2}\).
5. Déterminer les variations de la fonction \(p\) sur l'intervalle \([4\,;36]\).
6. On souhaite protéger le bassin avec une clôture qui en fait exactement le tour. Donner les dimensions du bassin qui permettent d'employer la plus petite longueur possible de clôture.